Wo sind denn die Formeln ?

Für die Periode der Schwingung des leichten Gegenstandes kennen wir ja vom Fadenpendel die Formel, die zumindest für kleine Pendelmassen gilt:

Wobei l die Länge des Fadens ist. Also können wir ablesen, dass bei kleinem l die Periode immer kleiner wird, die Frequenz und damit auch die Winkelgeschwindigkeit sich erhöht. Für sie gilt ja

Damit erhöht sich auch die Geschwindigkeit des Gegenstandes, denn

, wobei a die Auslenkung oder die Amplitude des Pendels ist.

Man kann dabei auch vom Drehimpuls ausgehen, der ja konstant bleiben muss. In der Formel
L = m * r * v kann man erkennen, dass bei verkleinertem Radius r (der Faden wird ja immer kürzer) die Geschwindigkeit zunehmen muss, damit der Drehimpuls L konstant bleibt.

Etwas ganz ähnliches passiert übrigens auch, wenn ein Eiskunstläufer bei einer Drehung die Arme auf einmal ganz nah an den Körper nimmt. Sein Drehimpuls bleibt dann auch konstant, aber die Masse seiner Arme ist nun näher an der Drehungsachse, also ist auch hier der Wert für r kleiner.

Warum die ganze Sache bei genügend Wicklungen des Fadens zum Stillstand kommt, lässt sich durch die Reibung erklären. Die Kraft die man braucht, um den Gegenstand am Faden zu ziehen wächst exponentiell mit der Anzahl der Windungen und ist gegeben durch folgende Formel:

F = F_G * e ^{2p µn}

F_G ist dabei die Gewichtskraft des Gegenstandes, n die Anzahl der Windungen und µ der sogenannte Reibungkoefizient, der vom jeweiligen Material des Stabes abhängt. Die Herleitung dieser Formel ist mathematisch ziemlich aufwendig (Integralrechnung !), also verzichte ich auf nähere Erläuterungen.