Wo sind denn die Formeln ?

Die Streichholzschachtel und das Schlüsselbund

Für die Periode der Schwingung des leichten Gegenstandes kennen wir vom Fadenpendel die Formel, die näherungsweise für kleine Pendelausschläge gilt:

Wobei l die Länge des Fadens ist. Genau genommen schwingt die kleine Masse (die Streichholzschachtel) weit aus, dann gilt diese Formel nicht mehr. Aber wir können aus der Formel näherungsweise ablesen, dass bei kleinem l die Periode immer kleiner wird, die Frequenz und damit auch die Winkelgeschwindigkeit sich erhöht. Für sie gilt

Damit erhöht sich auch die Geschwindigkeit des Gegenstandes, denn

, wobei a die Auslenkung (die Amplitude) des Pendels ist.

Man kann dabei auch vom sogenannten Drehimpuls ausgehen, der immer konstant bleiben muss. Der Drehimpuls L eines physikalischen bzw. technischen Systems bleibt immer gleich groß. In der Formel
L = m * r * v kann man erkennen, dass bei verkleinertem Radius r (der Faden wird ja immer kürzer) die Geschwindigkeit zunehmen muss, damit der Drehimpuls L konstant bleibt.

Etwas ganz ähnliches passiert übrigens auch, wenn ein Eiskunstläufer bei einer Drehung die Arme auf einmal ganz nah an den Körper nimmt. Sein Drehimpuls bleibt dann auch konstant, aber die Masse seiner Arme ist nun näher an der Drehungsachse, also ist auch hier der Wert für r kleiner und er dreht sich schneller.

Warum die ganze Sache bei genügend Wicklungen des Fadens zum Stillstand kommt, lässt sich durch die Reibung erklären. Die Kraft die man braucht, um den Gegenstand am Faden zu ziehen wächst exponentiell mit der Anzahl der Windungen und ist gegeben durch folgende Formel:

F = FG * e 2π µn

FG ist dabei die Gewichtskraft des Gegenstandes, n die Anzahl der Windungen, 2π entspricht dem Umfang des Stabes und µ ist der Reibungskoefizient, der vom jeweiligen Material des Stabes abhängt. Die Reibungskraft hängt nicht von der Dicke (dem Durchmesser) des Stabes ab, sie ist beim dicken Schiffspoller genauso groß wie bei dem Stab im Versuch!

Die Herleitung dieser Formel ist mathematisch aufwendig (Integralrechnung !), also verzichte ich auf nähere Erläuterungen.

Die Formel haben der berühmte Mathematiker Euler (1707-1783) und Herr Eytelwein (1764-1848) entwickelt.